Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a n-ésima derivada de , ou seja, para todo número natural . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas, especialmente as derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as primeiras derivadas de . Sabemos que:
A primeira derivada de é .
A segunda derivada é .
A terceira derivada é .
A quarta derivada volta a ser .
Assim, percebemos que as derivadas de seguem um ciclo de 4 passos: , , , , e depois repete.
Passo 3
Com esse padrão em mente, podemos generalizar para qualquer ordem de derivada . Como o ciclo se repete a cada 4 derivadas, vamos usar o resto da divisão de por 4 para determinar qual função corresponde à n-ésima derivada.
Matematicamente, isso significa que:
Passo 4
Para deixar isso mais compacto, podemos expressar a n-ésima derivada usando uma combinação de e com coeficientes que dependem de . Observando o padrão, vemos que a expressão geral pode ser escrita como:
Isso funciona porque o ângulo é deslocado em incrementos de a cada derivada, refletindo o ciclo de 4 passos que observamos.