Calcule d^(n)/dx^(n) cos(x) para todo n em N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a n-ésima derivada de cos(x), ou seja, para todo número natural n. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas, especialmente as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as primeiras derivadas de cos(x). Sabemos que:
  • A primeira derivada de cos(x) é .
  • A segunda derivada é .
  • A terceira derivada é sen x.
  • A quarta derivada volta a ser cos(x).
Assim, percebemos que as derivadas de cos(x) seguem um ciclo de 4 passos: cos(x), , , sen x, e depois repete.

Passo 3

Com esse padrão em mente, podemos generalizar para qualquer ordem de derivada n. Como o ciclo se repete a cada 4 derivadas, vamos usar o resto da divisão de n por 4 para determinar qual função corresponde à n-ésima derivada.
Matematicamente, isso significa que:

Passo 4

Para deixar isso mais compacto, podemos expressar a n-ésima derivada usando uma combinação de cos(x) e sen x com coeficientes que dependem de n. Observando o padrão, vemos que a expressão geral pode ser escrita como:
Isso funciona porque o ângulo x é deslocado em incrementos de pi / 2 a cada derivada, refletindo o ciclo de 4 passos que observamos.

Resposta

A n-ésima derivada de cos(x) é dada por:

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