Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a n-ésima derivada de , ou seja, para todo número natural . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas, especialmente as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as primeiras derivadas de . Sabemos que:
  • A primeira derivada de é .
  • A segunda derivada é .
  • A terceira derivada é .
  • A quarta derivada volta a ser .
Assim, percebemos que as derivadas de seguem um ciclo de 4 passos: , , , , e depois repete.

Passo 3

Com esse padrão em mente, podemos generalizar para qualquer ordem de derivada . Como o ciclo se repete a cada 4 derivadas, vamos usar o resto da divisão de por 4 para determinar qual função corresponde à n-ésima derivada.
Matematicamente, isso significa que:

Passo 4

Para deixar isso mais compacto, podemos expressar a n-ésima derivada usando uma combinação de e com coeficientes que dependem de . Observando o padrão, vemos que a expressão geral pode ser escrita como:
Isso funciona porque o ângulo é deslocado em incrementos de a cada derivada, refletindo o ciclo de 4 passos que observamos.

Resposta

A n-ésima derivada de é dada por:

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Calcule a derivada de .
Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa e calcule a derivada : .
Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa e calcule a derivada : .