Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa e calcule a derivada : .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir onde ela é invertível, achar a inversa e calcular a derivada dessa inversa. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, inversas de funções e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o domínio em que a função é invertível. Como é uma função quadrática, o gráfico dela é uma parábola. Como o coeficiente de é negativo ( ), a parábola abre para baixo, o que significa que a função é crescente até o vértice e depois decrescente.

Passo 3

Para garantir que a função seja invertível, devemos restringir o domínio onde ela é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto de máximo.
A fórmula do vértice para uma função quadrática é .
Aqui, e , então:
Então, o ponto é onde a função muda de crescente para decrescente.

Passo 4

Agora, vamos escolher uma das partes para restringir o domínio. Vamos optar pelo lado crescente para facilitar. Portanto, o domínio máximo onde é invertível é .

Passo 5

Com o domínio restrito, vamos achar a inversa . Começamos com:
Vamos resolver para :
Essa é uma equação quadrática em . Usando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos no domínio , escolhemos o sinal negativo:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada da função inversa . Sabemos que:
onde .
Primeiro, calculamos :
Então:

Resposta

O domínio máximo onde a função é invertível é . A função inversa é:
E a derivada da função inversa é:

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Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa e calcule a derivada : .
Calcule .
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