Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa
e calcule a derivada
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir onde ela é invertível, achar a inversa
e calcular a derivada dessa inversa. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, inversas de funções e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o domínio em que a função
é invertível. Como
é uma função quadrática, o gráfico dela é uma parábola. Como o coeficiente de
é negativo (
), a parábola abre para baixo, o que significa que a função é crescente até o vértice e depois decrescente.
Passo 3
Para garantir que a função seja invertível, devemos restringir o domínio onde ela é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto de máximo.
A fórmula do vértice para uma função quadrática
é
.
Aqui,
e
, então:
Então, o ponto
é onde a função muda de crescente para decrescente.
Passo 4
Agora, vamos escolher uma das partes para restringir o domínio. Vamos optar pelo lado crescente para facilitar. Portanto, o domínio máximo onde
é invertível é
.
Passo 5
Com o domínio restrito, vamos achar a inversa
. Começamos com:
Vamos resolver para
:
Essa é uma equação quadrática em
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos no domínio
, escolhemos o sinal negativo:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada da função inversa
. Sabemos que:
onde
.
Primeiro, calculamos
:
Então:
Resposta
O domínio máximo onde a função
é invertível é
. A função inversa é:
E a derivada da função inversa é:
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Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa
e calcule a derivada
:
.
Calcule
.
Estude graficamente funções inversas: como é o gráfico da inversa de uma função dada?
Esboce o gráfico da função