Estude as inversas das funções trigonométricas e suas derivadas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa estudar as funções trigonométricas inversas e como calcular as suas derivadas. Isso envolve entender o que são essas funções inversas, como elas se relacionam com as funções trigonométricas normais e como aplicar regras de derivação para encontrar suas taxas de variação. Vamos precisar conhecer um pouco de cálculo diferencial e, claro, as funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são funções trigonométricas inversas. Se você lembra das funções trigonométricas normais, tipo seno, cosseno e tangente, elas pegam um ângulo e te dão uma razão entre os lados de um triângulo. As funções inversas fazem o contrário: elas pegam uma razão e te dão o ângulo correspondente.
Por exemplo:
  • A função inversa do seno é o arcseno, denotado por .
  • A função inversa do cosseno é o arccoseno, denotado por .
  • A função inversa da tangente é o arctangente, denotado por .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre como encontrar as derivadas dessas funções. A derivada de uma função nos diz como a função está mudando em relação a uma variável, geralmente denotada por . Para as funções trigonométricas inversas, precisamos usar técnicas de derivação que envolvem álgebra e conhecimento das derivadas das funções trigonométricas normais.
Vamos começar com a derivada do .

Passo 4

Para encontrar a derivada de , vamos usar a seguinte abordagem:
  1. Seja . Isso significa que .
  2. Vamos derivar ambos os lados em relação a :
  3. Simplificando:
  4. Isolando :
  5. Agora, lembramos que .
  6. Como , substituímos:
  7. Portanto:

Passo 5

Vamos fazer a mesma coisa para o .
  1. Seja , então .
  2. Derivando ambos os lados:
  3. Isolando :
  4. Sabemos que .
  5. Como , substituímos:
  6. Assim, a derivada fica:

Passo 6

Agora, vamos derivar o .
  1. Seja , então .
  2. Derivando ambos os lados:
  3. Isolando :
  4. Sabemos que .
  5. Como , substituímos:
  6. Portanto:

Resposta

Resumindo, as derivadas das funções trigonométricas inversas são:
Essas fórmulas são fundamentais para resolver problemas que envolvem taxas de variação em funções inversas das funções trigonométricas.

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Calcule a derivada de .
Calcule .
Calcule .
Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa e calcule a derivada : .