Estude as inversas das funções trigonométricas e suas derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa estudar as funções trigonométricas inversas e como calcular as suas derivadas. Isso envolve entender o que são essas funções inversas, como elas se relacionam com as funções trigonométricas normais e como aplicar regras de derivação para encontrar suas taxas de variação. Vamos precisar conhecer um pouco de cálculo diferencial e, claro, as funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são funções trigonométricas inversas. Se você lembra das funções trigonométricas normais, tipo seno, cosseno e tangente, elas pegam um ângulo e te dão uma razão entre os lados de um triângulo. As funções inversas fazem o contrário: elas pegam uma razão e te dão o ângulo correspondente.
Por exemplo:
- A função inversa do seno é o arcseno, denotado por
. - A função inversa do cosseno é o arccoseno, denotado por
. - A função inversa da tangente é o arctangente, denotado por
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre como encontrar as derivadas dessas funções. A derivada de uma função nos diz como a função está mudando em relação a uma variável, geralmente denotada por
. Para as funções trigonométricas inversas, precisamos usar técnicas de derivação que envolvem álgebra e conhecimento das derivadas das funções trigonométricas normais.
Vamos começar com a derivada do
.
Passo 4
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a seguinte abordagem:
- Seja
. Isso significa que . - Vamos derivar ambos os lados em relação a
: - Simplificando:
- Isolando
: - Agora, lembramos que
. - Como
, substituímos: - Portanto:
Passo 5
Vamos fazer a mesma coisa para o
.
- Seja
, então . - Derivando ambos os lados:
- Isolando
: - Sabemos que
. - Como
, substituímos: - Assim, a derivada fica:
Passo 6
Agora, vamos derivar o
.
- Seja
, então . - Derivando ambos os lados:
- Isolando
: - Sabemos que
. - Como
, substituímos: - Portanto:
Resposta
Resumindo, as derivadas das funções trigonométricas inversas são:
Essas fórmulas são fundamentais para resolver problemas que envolvem taxas de variação em funções inversas das funções trigonométricas.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de
.
Calcule
.
Calcule
.
Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa
e calcule a derivada
:
.