Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa
e calcule a derivada
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o maior domínio possível onde a função
é invertível. Depois, precisamos achar a função inversa
e calcular a sua derivada
. Vamos usar conceitos de funções inversas e derivadas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando uma função é invertível. Uma função é invertível se ela for bijetora, ou seja, injetora (cada saída vem de apenas uma entrada) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). No nosso caso, para garantir que
seja injetora, precisamos que ela seja monótona, ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente.
Passo 3
Para verificar a monotonicidade, vamos calcular a derivada de
:
Usando a regra do quociente:
Como
é sempre positivo (exceto quando
, mas aí a função não está definida),
é sempre positivo. Portanto,
é crescente em todo o seu domínio, o que garante que ela é injetora.
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio da função
. A função
está definida para todos os valores de
onde o denominador não é zero. Ou seja:
Então, o domínio de
é
.
Passo 5
Como a função é injetora e a derivada nunca é zero, a função é invertível em todo o seu domínio
.
Passo 6
Vamos encontrar a função inversa
. Para isso, trocamos
e
e resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Então, a função inversa é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada da função inversa
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Resposta
O domínio máximo em que a função
é invertível é
. A função inversa é
e a sua derivada é
.
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.
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:
.
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