Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa e calcule a derivada : .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o maior domínio possível onde a função é invertível. Depois, precisamos achar a função inversa e calcular a sua derivada . Vamos usar conceitos de funções inversas e derivadas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando uma função é invertível. Uma função é invertível se ela for bijetora, ou seja, injetora (cada saída vem de apenas uma entrada) e sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). No nosso caso, para garantir que seja injetora, precisamos que ela seja monótona, ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente.

Passo 3

Para verificar a monotonicidade, vamos calcular a derivada de :
Usando a regra do quociente:
Como é sempre positivo (exceto quando , mas aí a função não está definida), é sempre positivo. Portanto, é crescente em todo o seu domínio, o que garante que ela é injetora.

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio da função . A função está definida para todos os valores de onde o denominador não é zero. Ou seja:
Então, o domínio de é .

Passo 5

Como a função é injetora e a derivada nunca é zero, a função é invertível em todo o seu domínio .

Passo 6

Vamos encontrar a função inversa . Para isso, trocamos e e resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :
Isolando :
Então, a função inversa é:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada da função inversa . Para isso, derivamos em relação a :
Usando a regra do quociente:

Resposta

O domínio máximo em que a função é invertível é . A função inversa é e a sua derivada é .

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