Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a n-ésima derivada de para qualquer número natural . Isso é parte do estudo de cálculo diferencial, onde a gente aprende a encontrar derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas básicas das funções trigonométricas, especificamente da função seno, e entender o padrão que elas seguem quando derivamos várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as primeiras derivadas de :
  1. A primeira derivada de é :
  2. A segunda derivada é :
  3. A terceira derivada é :
  4. A quarta derivada volta a ser :

Passo 3

Observamos que, após a quarta derivada, o padrão se repete. Isso significa que toda vez que derivamos a função quatro vezes, voltamos à função original. Esse ciclo de repetição a cada quatro derivações é essencial para encontrar a n-ésima derivada.

Passo 4

Para determinar qual função obteremos após a n-ésima derivada, precisamos ver onde se encaixa nesse ciclo de 4. Para isso, usamos o resto da divisão de por 4, ou seja, . Dependendo do resultado, teremos:
  • Se , a derivada será .
  • Se , a derivada será .
  • Se , a derivada será .
  • Se , a derivada será .

Passo 5

Então, a n-ésima derivada de depende apenas do valor de dividido por 4. Não importa quão grande seja , sempre voltamos a um desses quatro casos.

Resposta

A n-ésima derivada de é:

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