Verifique que f(t) = A sen(c t + a) + B cos(c t + b) satisfaz f''(t) + c^2 f(t) = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma função e precisamos verificar se ela satisfaz a equação diferencial . Para isso, vamos precisar conhecer como derivar funções trigonométricas e aplicar essas derivadas na equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Lembre-se que a derivada de é e a derivada de é . Além disso, aplicamos a regra da cadeia ao derivar funções compostas.
Aplicando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, a derivada de .
Derivando cada termo:

Passo 4

Com as derivadas calculadas, substituímos e na equação diferencial dada:
Simplificando os termos:
Perceba que os termos se cancelam:

Resposta

Portanto, mostramos que , o que confirma que a função satisfaz a equação diferencial dada.

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