Calcule d r / d tau usando a regra de cadeia e, então, confira seu resultado expressando r em termos de tau e diferenciando.
r = t i + t^2 j ; t = 4 tau + 1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada vetorial usando a regra da cadeia. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a diferenciação de funções vetoriais e a aplicação da regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar derivar r em relação a t e depois multiplicar pela derivada de t em relação a tau.

Passo 2

Primeiro, identifique a expressão de r e a relação entre t e tau:

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de r em relação a tau é:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada separadamente. Primeiro, derivamos r em relação a t:

Passo 5

Agora, derivamos t em relação a tau:

Passo 6

Multiplicando as duas derivadas obtidas:

Passo 7

Para conferir, vamos expressar r em termos de tau e diferenciar diretamente. Sabemos que , então:
Derivando em relação a tau:
Comparando com o resultado anterior, vemos que ambas as expressões são consistentes quando substituímos .

Resposta

A derivada é:
ou, em termos de tau,

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