Calcule
usando a regra de cadeia e, então, confira seu resultado expressando
em termos de
e diferenciando.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada vetorial
usando a regra da cadeia. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a diferenciação de funções vetoriais e a aplicação da regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar derivar
em relação a
e depois multiplicar pela derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, identifique a expressão de
e a relação entre
e
:
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada separadamente. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Multiplicando as duas derivadas obtidas:
Passo 7
Para conferir, vamos expressar
em termos de
e diferenciar diretamente. Sabemos que
, então:
Derivando em relação a
:
Comparando com o resultado anterior, vemos que ambas as expressões são consistentes quando substituímos
.
Resposta
A derivada
é:
ou, em termos de
,