d/dt x = [[-1, -1], [2, -1]] x + (-1, 5)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão apresenta um sistema de equações diferenciais lineares da forma:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, a função que satisfaz a equação dada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, autovalores e autovetores, além de métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem o termo constante. Isso significa resolver:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz:
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Com os autovalores em mãos, podemos escrever a solução geral da parte homogênea. Como temos autovalores complexos, a solução será da forma:
Onde e .
Precisamos agora encontrar os vetores próprios correspondentes a cada autovalor para determinar e . Vamos pegar um dos autovalores, por exemplo, , e resolver:
Substituindo :
Resolvendo, encontramos que o vetor próprio pode ser (após simplificações).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a solução particular da equação completa:
Como o termo constante é , vamos tentar uma solução particular constante . Assim, assumimos que , e substituímos na equação:
Resolvendo isso, temos um sistema de equações lineares:
Resolvendo esse sistema, encontramos e . Então, a solução particular é:

Passo 5

Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral do sistema:
Os vetores e são determinados pelas condições iniciais do problema, que não foram fornecidas aqui.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são vetores constantes determinados pelas condições iniciais.

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