Encontre o comprimento de arco da curva paramétrica.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por funções paramétricas em três dimensões:
O objetivo é encontrar o comprimento de arco dessa curva no intervalo de
de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco para uma curva paramétrica em 3D. Se temos
,
e
, o comprimento de arco
de
a
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco, temos:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Passo 5
Observamos que:
E sabendo que:
Portanto:
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Vamos resolver essa integral separadamente:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.