Encontre o comprimento de arco da curva paramétrica.
x = e^t, y = e^(-t), z = raiz(2) t ; 0 <= t <= 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por funções paramétricas em três dimensões:
O objetivo é encontrar o comprimento de arco dessa curva no intervalo de de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco para uma curva paramétrica em 3D. Se temos , e , o comprimento de arco de a é dado por:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de , e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco, temos:
Simplificando os termos dentro da raiz:

Passo 5

Observamos que:
E sabendo que:
Portanto:

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:
Vamos resolver essa integral separadamente:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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