d/dt x = (1 1; 1 -1) x - 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A equação que temos é:
Essa é uma equação diferencial de sistema linear. O que precisamos fazer é encontrar a solução para que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes e determinar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, ignorar o termo constante. A equação homogênea fica:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz dos coeficientes:
Calculando o determinante:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvendo, temos:
Então, um autovetor é:
Para :
Resolvendo, temos:
Então, um autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa. Como o termo constante é , vamos supor que a solução particular também seja constante, ou seja, .
Substituindo na equação original:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então, temos:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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