Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A equação que temos é:
Essa é uma equação diferencial de sistema linear. O que precisamos fazer é encontrar a solução para
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes e determinar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, ignorar o termo constante. A equação homogênea fica:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz dos coeficientes:
Calculando o determinante:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvendo, temos:
Então, um autovetor é:
Para
:
Resolvendo, temos:
Então, um autovetor é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. Como o termo constante é
, vamos supor que a solução particular também seja constante, ou seja,
.
Substituindo na equação original:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então, temos:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.