Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Suponha que r(t) seja uma função vetorial lisa de t com r'(1) = <raiz(3), -raiz(3), -1> e seja r1(t) definida pela equação r1(t) = r(2 cos t). Então r1'(pi / 3) \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial suave r(t), e nos dá a derivada dessa função no ponto t = 1, que é . Também temos uma nova função vetorial definida como . A pergunta quer saber qual é a derivada dessa nova função no ponto , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas, especialmente no contexto de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função composta. Aqui, dentro da função r, temos a expressão . Para encontrar a derivada de em relação a t, precisamos aplicar a regra da cadeia.
A regra da cadeia para derivadas compostas nos diz que se temos uma função , então a derivada . No nosso caso, f é r e g(t) é .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia:
Primeiro, encontramos a derivada de em relação a t:
Então, a derivada da função composta fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Vamos substituir na expressão que encontramos:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:

Passo 5

Sabemos que , e como vimos que , então:
Multiplicando esse vetor pelo escalar :

Resposta

Exercícios relacionados