Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Suponha que
seja uma função vetorial lisa de
com
e seja
definida pela equação
. Então
Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial suave
, e nos dá a derivada dessa função no ponto
, que é
. Também temos uma nova função vetorial definida como
. A pergunta quer saber qual é a derivada dessa nova função no ponto
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas, especialmente no contexto de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função composta. Aqui, dentro da função
, temos a expressão
. Para encontrar a derivada de
em relação a
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
A regra da cadeia para derivadas compostas nos diz que se temos uma função
, então a derivada
. No nosso caso,
é
e
é
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia:
Primeiro, encontramos a derivada de
em relação a
:
Então, a derivada da função composta fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Vamos substituir
na expressão que encontramos:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Passo 5
Sabemos que
, e como vimos que
, então:
Multiplicando esse vetor pelo escalar
: