Calcule d r / d tau usando a regra de cadeia e, então, confira seu resultado expressando r em termos de tau e diferenciando.
r = < 3 cos(t), 3 sen(t) > ; t = pi tau

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de um vetor em relação a usando a regra da cadeia. Depois, devemos conferir esse resultado expressando diretamente em termos de e diferenciando. Vamos precisar entender um pouquinho de cálculo de vetores e da regra da cadeia para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, depende de , que por sua vez depende de . Então, para encontrar a derivada de em relação a , usamos a regra da cadeia:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 3

Primeiro, calculamos . Dada a função , a derivada em relação a é:
Agora, calculamos . Sabemos que , então a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia juntando as duas derivadas que calculamos:

Passo 5

Vamos agora conferir nosso resultado expressando diretamente em termos de . Sabemos que , então substituindo na expressão de :
Agora, diferenciamos em relação a :
Perceba que esse resultado é igual ao que obtivemos usando a regra da cadeia. Isso confirma que nossa aplicação da regra da cadeia está correta!

Resposta

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