Calcule
usando a regra de cadeia e, então, confira seu resultado expressando
em termos de
e diferenciando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de um vetor
em relação a
usando a regra da cadeia. Depois, devemos conferir esse resultado expressando
diretamente em termos de
e diferenciando. Vamos precisar entender um pouquinho de cálculo de vetores e da regra da cadeia para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso,
depende de
, que por sua vez depende de
. Então, para encontrar a derivada de
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 3
Primeiro, calculamos
. Dada a função , a derivada em relação a
é:
Agora, calculamos
. Sabemos que
, então a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia juntando as duas derivadas que calculamos:
Passo 5
Vamos agora conferir nosso resultado expressando
diretamente em termos de
. Sabemos que
, então substituindo na expressão de
:
Agora, diferenciamos
em relação a
:
Perceba que esse resultado é igual ao que obtivemos usando a regra da cadeia. Isso confirma que nossa aplicação da regra da cadeia está correta!