Suponha que as funções
e
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio
do plano
. Uma trajetória fechada do sistema (15) tem, necessariamente, que conter pelo menos um ponto crítico (de equilíbrio) em seu interior. Se contiver apenas um ponto crítico, esse ponto não poderá ser de sela.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções,
e
, que têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio
no plano
. O problema fala sobre uma trajetória fechada desse sistema e nos diz que essa trajetória precisa ter pelo menos um ponto crítico (ou ponto de equilíbrio) dentro dela. Além disso, se houver apenas um ponto crítico, esse ponto não pode ser de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e propriedades de pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico ou ponto de equilíbrio. Em um sistema dinâmico dado por:
Um ponto
é um ponto de equilíbrio se
e
. Esses pontos são onde o sistema fica “parado”.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que é uma trajetória fechada. Imagine uma trajetória no plano
que forma um laço, sem começo nem fim. Essa trajetória pode representar, por exemplo, um ciclo limite no sistema, onde o comportamento do sistema repete-se periodicamente.
Passo 4
A questão afirma que qualquer trajetória fechada desse tipo deve conter pelo menos um ponto de equilíbrio dentro dela. Isso está relacionado ao teorema de Brouwer sobre campos vetoriais e pontos fixos. Intuitivamente, se você tem um “laço” no sistema, algo dentro desse laço precisa ser equilibrado para manter a trajetória fechada.
Passo 5
Além disso, se houver apenas um ponto crítico dentro da trajetória fechada, esse ponto não pode ser de sela. Vamos lembrar que um ponto de sela tem direções de entrada e saída, o que geralmente permite que a trajetória fique perto dele, mas sem cercá-lo completamente. Portanto, se há apenas um ponto de equilíbrio dentro do laço, ele deve ser de um tipo que realmente “prende” a trajetória, como um nó ou um foco, mas não uma sela.
Resposta
Portanto, uma trajetória fechada do sistema com
e
de derivadas contínuas deve necessariamente conter pelo menos um ponto de equilíbrio no interior, e se houver apenas um ponto crítico, ele não pode ser de sela.