Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se r(t) for uma parametrização do gráfico de y = |x| no espaço bidimensional, então r(t) será lisa.

Passo 1

Então, a questão é sobre verificar se uma parametrização do gráfico da função no plano bidimensional é lisa. Aqui, estamos falando de cálculo, especificamente sobre curvas lisas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma curva ser lisa e analisar a parametrização da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva ser lisa. Uma curva é considerada lisa se ela tiver derivadas contínuas de todas as ordens necessárias, o que garante que ela não tem “quebras” ou cantos afiados. No caso de , sabemos que essa função tem um ponto de cantinho em , onde a derivada não existe.

Passo 3

Vamos tentar parametrizar . Uma parametrização comum para essa função é separar em duas partes:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos verificar a lisura dessa parametrização. Olhando para as duas partes:
  1. Quando , é uma linha reta com derivadas contínuas.
  2. Quando , também é uma linha reta com derivadas contínuas.
No entanto, no ponto , onde as duas partes se encontram, a derivada da primeira parte é e da segunda parte é . Essas derivadas não são iguais, o que indica que a curva não é lisa nesse ponto.

Passo 5

Além disso, a existência de um canto em confirma que a curva não é diferenciável ali, ou seja, a parametrização não possui uma derivada contínua em todo o domínio.

Resposta

Falso. A parametrização do gráfico de não é lisa porque apresenta um ponto de não diferenciabilidade em .

Exercícios relacionados