Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se
for uma parametrização do gráfico de
no espaço bidimensional, então
será lisa.
Se
Passo 1
Então, a questão é sobre verificar se uma parametrização
do gráfico da função
no plano bidimensional é lisa. Aqui, estamos falando de cálculo, especificamente sobre curvas lisas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma curva ser lisa e analisar a parametrização da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva ser lisa. Uma curva é considerada lisa se ela tiver derivadas contínuas de todas as ordens necessárias, o que garante que ela não tem “quebras” ou cantos afiados. No caso de
, sabemos que essa função tem um ponto de cantinho em
, onde a derivada não existe.
Passo 3
Vamos tentar parametrizar
. Uma parametrização comum para essa função é separar em duas partes:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos verificar a lisura dessa parametrização. Olhando para as duas partes:
- Quando
, é uma linha reta com derivadas contínuas. - Quando
, também é uma linha reta com derivadas contínuas.
No entanto, no ponto
, onde as duas partes se encontram, a derivada da primeira parte é
e da segunda parte é
. Essas derivadas não são iguais, o que indica que a curva não é lisa nesse ponto.
Passo 5
Além disso, a existência de um canto em
confirma que a curva não é diferenciável ali, ou seja, a parametrização
não possui uma derivada contínua em todo o domínio.
Resposta
Falso. A parametrização
do gráfico de
não é lisa porque apresenta um ponto de não diferenciabilidade em
.