Encontre o comprimento de arco do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do gráfico da função vetorial , para
variando de
a
. O que vamos usar aqui é o cálculo de comprimento de arco para curvas paramétricas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada por
. A fórmula é:
Onde
é a derivada da função vetorial em relação a
, e
é o comprimento desse vetor.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. Derivando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o comprimento do vetor
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz, lembrando que :
Passo 6
Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:
Resposta
O comprimento do arco do gráfico de
de
a
é
.