Encontre o comprimento de arco do gráfico de r(t).
r(t) = 3 cos(t) i + 3 sen(t) j + t k ; 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do gráfico da função vetorial , para variando de a . O que vamos usar aqui é o cálculo de comprimento de arco para curvas paramétricas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada por . A fórmula é:
Onde é a derivada da função vetorial em relação a , e é o comprimento desse vetor.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . Derivando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento do vetor :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz, lembrando que :

Passo 6

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:

Resposta

O comprimento do arco do gráfico de de a é .

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