Calcule d r / d tau usando a regra de cadeia e, então, confira seu resultado expressando r em termos de tau e diferenciando.
r = e^t i + 4 e^{-t} j ; t = tau^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor posição que depende de uma variável , mas por sua vez depende de . O nosso objetivo é calcular a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em derivadas e como manipular vetores que dependem de outras variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o que a gente tem:
Queremos encontrar .

Passo 3

A regra da cadeia diz que, se uma variável depende de outra que por sua vez depende de uma terceira, a derivada total é o produto das derivadas. Matemáticamente, se depende de e depende de , então:

Passo 4

Vamos calcular . Derivando cada componente de em relação a :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular . Como ,

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 7

Agora, para conferir, vamos expressar em termos de substituindo :

Passo 8

Vamos derivar em relação a diretamente:
Então,

Resposta

A derivada de em relação a é:

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