Calcule
usando a regra de cadeia e, então, confira seu resultado expressando
em termos de
e diferenciando.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor posição
que depende de uma variável
, mas
por sua vez depende de
. O nosso objetivo é calcular a derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em derivadas e como manipular vetores que dependem de outras variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o que a gente tem:
Queremos encontrar
.
Passo 3
A regra da cadeia diz que, se uma variável depende de outra que por sua vez depende de uma terceira, a derivada total é o produto das derivadas. Matemáticamente, se
depende de
e
depende de
, então:
Passo 4
Vamos calcular
. Derivando cada componente de
em relação a
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Como
,
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Agora, para conferir, vamos expressar
em termos de
substituindo
:
Passo 8
Vamos derivar
em relação a
diretamente:
Então,
Resposta
A derivada de
em relação a
é: