Verifique se a função
é contínua no ponto
. A função é contínua em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função
é contínua nos pontos
e
. A função é definida da seguinte forma:
Aqui, a gente vai usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis. Para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função quando
se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Vamos começar verificando a continuidade em
. Primeiro, observamos que
. Agora, precisamos achar o limite de
quando
se aproxima de
.
Quando
está diferente de zero, a função é:
Para encontrar o limite quando
tende a zero, podemos usar a aproximação da exponencial para pequenos
:
Assim,
Substituindo na função:
Então, o limite de
quando
tende a zero é igual a
.
Passo 3
Agora, como estamos verificando em
, vamos substituir
:
Comparando com o valor da função em
:
Como o limite é igual ao valor da função, concluímos que
é contínua em
.
Passo 4
Vamos agora verificar a continuidade em
. O processo é similar. Sabemos que
.
Usando a mesma aproximação para
próximo de zero:
Então, o limite quando
se aproxima de
é:
Resposta
A função
é contínua no ponto
porque o limite
é igual a
. Já no ponto
, a função não é contínua porque o limite
é diferente de
.