Verifique se a função f é contínua no ponto 1,0. A função é contínua em 2,0 ?
f(x, y) = { -x * y / (1 - e^y), se y ≠ 0; 1, se y = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função é contínua nos pontos e . A função é definida da seguinte forma:
Aqui, a gente vai usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis. Para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função quando se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade em . Primeiro, observamos que . Agora, precisamos achar o limite de quando se aproxima de .
Quando está diferente de zero, a função é:
Para encontrar o limite quando tende a zero, podemos usar a aproximação da exponencial para pequenos :
éó
Assim,
Substituindo na função:
Então, o limite de quando tende a zero é igual a .

Passo 3

Agora, como estamos verificando em , vamos substituir :
Comparando com o valor da função em :
Como o limite é igual ao valor da função, concluímos que é contínua em .

Passo 4

Vamos agora verificar a continuidade em . O processo é similar. Sabemos que .
Usando a mesma aproximação para próximo de zero:
Então, o limite quando se aproxima de é:

Resposta

A função é contínua no ponto porque o limite é igual a . Já no ponto , a função não é contínua porque o limite é diferente de .

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