Seja a função
.
- Determine o domínio e ache
e
;
- Determine o conjunto imagem de
;
- Determine as curvas de nível correspondentes a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a função
e temos três tarefas:
- Determinar o domínio da função e calcular
e . - Encontrar o conjunto imagem de
. - Determinar as curvas de nível correspondentes aos valores de
, e .
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, além de saber o que são curvas de nível. Vamos por partes!
Passo 2
1. Determinar o domínio e calcular
e
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para
, não vemos nenhum denominador ou raiz quadrada que possa causar problemas. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de
e
.
Então, o domínio de
é:
(O conjunto de todos os pares reais
.)
Calculando
:
Calculando
:
Passo 3
2. Determinar o conjunto imagem de
Imagem da função: O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia no domínio.
Vamos olhar para a expressão da função:
Sabemos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero, então:
Portanto, o valor máximo que
pode atingir é 4. Além disso, como
pode crescer sem limites (quando
e
vão para infinito),
pode se tornar tão negativo quanto quisermos.
Então, o conjunto imagem de
é:
Passo 4
3. Determinar as curvas de nível correspondentes a
,
e
Curvas de nível: São as curvas no plano onde a função assume um valor constante
. Ou seja, resolvemos a equação:
Vamos ver para cada valor de
:
-
Para
: Essa é a equação de um c��rculo com raio 2 e centro na origem. -
Para
: Aqui temos um círculo com raioe centro na origem. -
Para
: Esse é um círculo com raioe centro na origem.
Resposta
-
O domínio de
é todo o plano real . Calculando: -
-
O conjunto imagem de
é . -
As curvas de nível são:
- Para
: círculo de raio 2. - Para
: círculo de raio . - Para
: círculo de raio .
- Para