Seja a função f(x, y) = 4 - x^2 - y^2.
  1. Determine o domínio e ache f(0, 0) e f(1,-1);
  2. Determine o conjunto imagem de f;
  3. Determine as curvas de nível correspondentes a c=0, c=-1 e c = 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a função e temos três tarefas:
  1. Determinar o domínio da função e calcular e .
  2. Encontrar o conjunto imagem de .
  3. Determinar as curvas de nível correspondentes aos valores de , e .
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, além de saber o que são curvas de nível. Vamos por partes!

Passo 2

1. Determinar o domínio e calcular e
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Olhando para , não vemos nenhum denominador ou raiz quadrada que possa causar problemas. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de e .
Então, o domínio de é:
(O conjunto de todos os pares reais .)
Calculando :
Calculando :

Passo 3

2. Determinar o conjunto imagem de
Imagem da função: O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia no domínio.
Vamos olhar para a expressão da função:
Sabemos que e são sempre maiores ou iguais a zero, então:
Portanto, o valor máximo que pode atingir é 4. Além disso, como pode crescer sem limites (quando e vão para infinito), pode se tornar tão negativo quanto quisermos.
Então, o conjunto imagem de é:

Passo 4

3. Determinar as curvas de nível correspondentes a , e
Curvas de nível: São as curvas no plano onde a função assume um valor constante . Ou seja, resolvemos a equação:
Vamos ver para cada valor de :
  • Para :
    Essa é a equação de um c��rculo com raio 2 e centro na origem.
  • Para :
    Aqui temos um círculo com raio e centro na origem.
  • Para :
    Esse é um círculo com raio e centro na origem.

Resposta

  1. O domínio de é todo o plano real . Calculando:
  2. O conjunto imagem de é .
  3. As curvas de nível são:
    • Para : círculo de raio 2.
    • Para : círculo de raio .
    • Para : círculo de raio .

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