Dada a função f(x, y) = y cos(x).
  1. Determine o domínio e represente-o graficamente;
  2. Encontre a equação e faça um esboço do gráfico da curva de nível de f que passa por P=(1,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função . O primeiro passo é determinar o domínio dessa função, ou seja, descobrir todos os valores de e para os quais a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender o que envolve a função cosseno e como ela se comporta com o produto por . Depois, vamos representar esse domínio graficamente.

Passo 2

Vamos começar identificando onde a função está definida. Sabemos que a função cosseno está definida para todos os números reais, ou seja, para qualquer valor de . Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos que possam limitar o domínio de .

Passo 3

Agora, observamos o termo na função. Aqui, é uma variável independente e também não impõe restrições ao domínio. Não há denominadores que possam se tornar zero ou exponentes que exijam ser positivo. Portanto, pode assumir qualquer valor real.

Passo 4

Com isso, concluímos que não há restrições para e . A função est�� definida para todos os pares onde e são números reais. Ou seja, o domínio é todo o plano .

Passo 5

Agora, vamos representar graficamente o domínio. Como o domínio é todo o plano, isso significa que a função está definida em cada ponto do plano cartesiano. Graficamente, isso seria uma superfície contínua cobrindo todo o espaço e .

Passo 6

Passando para a segunda parte do exercício, precisamos encontrar a equação da curva de nível de que passa pelo ponto . Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Vamos chamar esse valor de , ou seja, .

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar o valor de usando o ponto :
Então, a curva de nível que passa por é aquela onde .

Passo 8

Agora, escrevemos a equação da curva de nível:
Para resolver essa equação, multiplicamos por 1 (mantendo a igualdade):
Isso acontece quando ou .

Passo 9

Analisando as duas possibilidades:
  1. : Essa é a equação do eixo no plano cartesiano.
  2. : A solução dessa equação ocorre quando , onde é um inteiro qualquer. Isso corresponde a linhas verticais no plano onde o cosseno de é zero.

Passo 10

Portanto, a curva de nível consiste em todas as linhas onde (eixo ) e onde para qualquer inteiro . Gráfico isso seria uma linha horizontal no eixo e várias linhas verticais espaçadas em intervalos de ao longo do eixo .

Resposta

  1. Domínio da função : Todos os números reais para e , ou seja, . Gráfico: plano completo sem restrições.
  2. Curva de nível que passa por : A equação é , que corresponde ao eixo e às linhas verticais para todo inteiro . O esboço mostra uma linha horizontal no eixo e várias linhas verticais espaçadas em intervalos de .

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