Dada a função
.
- Determine o domínio e represente-o graficamente;
- Encontre a equação e faça um esboço do gráfico da curva de nível de
que passa por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função
. O primeiro passo é determinar o domínio dessa função, ou seja, descobrir todos os valores de
e
para os quais a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender o que envolve a função cosseno e como ela se comporta com o produto por
. Depois, vamos representar esse domínio graficamente.
Passo 2
Vamos começar identificando onde a função
está definida. Sabemos que a função cosseno está definida para todos os números reais, ou seja, para qualquer valor de
. Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos que possam limitar o domínio de
.
Passo 3
Agora, observamos o termo
na função. Aqui,
é uma variável independente e também não impõe restrições ao domínio. Não há denominadores que possam se tornar zero ou exponentes que exijam
ser positivo. Portanto,
pode assumir qualquer valor real.
Passo 4
Com isso, concluímos que não há restrições para
e
. A função
est�� definida para todos os pares
onde
e
são números reais. Ou seja, o domínio é todo o plano
.
Passo 5
Agora, vamos representar graficamente o domínio. Como o domínio é todo o plano, isso significa que a função está definida em cada ponto do plano cartesiano. Graficamente, isso seria uma superfície contínua cobrindo todo o espaço
e
.
Passo 6
Passando para a segunda parte do exercício, precisamos encontrar a equação da curva de nível de
que passa pelo ponto
. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Vamos chamar esse valor de
, ou seja,
.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar o valor de
usando o ponto
:
Então, a curva de nível que passa por
é aquela onde
.
Passo 8
Agora, escrevemos a equação da curva de nível:
Para resolver essa equação, multiplicamos por 1 (mantendo a igualdade):
Isso acontece quando
ou
.
Passo 9
Analisando as duas possibilidades:
-
: Essa é a equação do eixo no plano cartesiano. -
: A solução dessa equação ocorre quando , onde é um inteiro qualquer. Isso corresponde a linhas verticais no plano onde o cosseno de é zero.
Passo 10
Portanto, a curva de nível
consiste em todas as linhas onde
(eixo
) e onde
para qualquer inteiro
. Gráfico isso seria uma linha horizontal no eixo
e várias linhas verticais espaçadas em intervalos de
ao longo do eixo
.
Resposta
-
Domínio da função
: Todos os números reais para e , ou seja, . Gráfico: plano completo sem restrições. -
Curva de nível que passa por
: A equação é , que corresponde ao eixo e às linhas verticais para todo inteiro . O esboço mostra uma linha horizontal no eixo e várias linhas verticais espaçadas em intervalos de .