Um web-designer cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição
com r dado em centímetros e t em segundos.
Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade instantânea para t=0, t=1 s e t=2 s.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício nos dá a posição de um ponto na tela do computador em função do tempo, usando vetores. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente derivadas de vetores para encontrar velocidades instantâneas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da posição em relação ao tempo para achar a velocidade, e depois descobrir o módulo (ou seja, o tamanho), a direção e o sentido dessa velocidade nos instantes de , segundo e segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a posição do ponto no tempo r(t) = (4 + 2,5 t^2) i + 5 t j está dada por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções dos eixos e , respectivamente.
Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar em relação ao tempo . A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada componente de v(t) = dr(t)dt = ddt(4 + 2,5 t^2) i + ddt(5 t) j :
v(t) = (2 times 2,5 times t) i + 5 j = 5 t i + 5 j
Derivando:
v(t) = 5 t i + 5 j
Então, a expressão da velocidade em função do tempo é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade instantânea para os tempos v(0) = 5 times 0 i + 5 j = 0 i + 5 j = 5 j , cm/s , v(1) = 5 times 1 i + 5 j = 5 i + 5 j , cm/s s e v(2) = 5 times 2 i + 5 j = 10 i + 5 j , cm/s s substituindo esses valores na expressão da velocidade.
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora que temos os vetores velocidade para cada instante de tempo, vamos calcular o módulo (tamanho) da velocidade, que é dado pela fórmula:
|v(t)| = raiz(vx)^2 + (vy)^2
onde |v(0)| = raiz0^2 + 5^2 = raiz25 = 5 , cm/s e |v(1)| = raiz5^2 + 5^2 = raiz25 + 25 = raiz50 approx 7,07 , cm/s são as componentes nas direções |v(2)| = raiz10^2 + 5^2 = raiz100 + 25 = raiz125 approx 11,18 , cm/s e .
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Para determinar a direção da velocidade, vamos calcular o ângulo tan(theta) = vyvx que o vetor velocidade forma com o eixo theta = arctan(vyvx) . Usamos a tangente do ângulo:
Quanto ao sentido da velocidade, ele está determinado pelas componentes do vetor velocidade. Se as componentes v(0) = 5 j Rightarrow sentido para cima e v(1) = 5 i + 5 j Rightarrow sentido para cima e para a direita são positivas, o sentido é para a direita (no eixo v(2) = 10 i + 5 j Rightarrow sentido mais para a direita e um pouco para cima ) e para cima (no eixo ).