Um web-designer cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição
com dado em centímetros e em segundos.
Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade instantânea para , s e s.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício nos dá a posição de um ponto na tela do computador em função do tempo, usando vetores. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente derivadas de vetores para encontrar velocidades instantâneas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da posição em relação ao tempo para achar a velocidade, e depois descobrir o módulo (ou seja, o tamanho), a direção e o sentido dessa velocidade nos instantes de , segundo e segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a posição do ponto no tempo está dada por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções dos eixos e , respectivamente.
Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar em relação ao tempo . A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada componente de :
Derivando:
Então, a expressão da velocidade em função do tempo é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade instantânea para os tempos , s e s substituindo esses valores na expressão da velocidade.
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora que temos os vetores velocidade para cada instante de tempo, vamos calcular o módulo (tamanho) da velocidade, que é dado pela fórmula:
onde e são as componentes nas direções e .
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Para determinar a direção da velocidade, vamos calcular o ângulo que o vetor velocidade forma com o eixo . Usamos a tangente do ângulo:
Logo:
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Quanto ao sentido da velocidade, ele está determinado pelas componentes do vetor velocidade. Se as componentes e são positivas, o sentido é para a direita (no eixo ) e para cima (no eixo ).