Calcule d v
dx
x^2 + x y^2 + 2 y = 0, onde y = f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular para a equação , onde é uma função de ( ). Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo bem claro:
Nossa missão é encontrar , a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia quando derivarmos termos que envolvem .
Derivando cada termo:
  1. A derivada de em relação a é .
  2. Para o termo , usamos a regra do produto:
  3. A derivada de em relação a é .
  4. A derivada de é .

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas:
Nosso objetivo é isolar .

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm e os que não têm:
Agora, para isolar , dividimos ambos os lados pela :
Podemos simplificar tirando um fator comum de 2 no denominador:

Resposta

A derivada é:

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