Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular
para a equação
, onde
é uma função de
(
). Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo bem claro:
Nossa missão é encontrar
, a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia quando derivarmos termos que envolvem
.
Derivando cada termo:
-
A derivada de
em relação a é . -
Para o termo
, usamos a regra do produto: -
A derivada de
em relação a é . -
A derivada de
é .
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm
e os que não têm:
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados pela
:
Podemos simplificar tirando um fator comum de 2 no denominador:
Resposta
A derivada
é: