Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região que está entre as curvas
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde essas curvas se cruzam e depois calcular a área entre esses pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Vamos substituir a equação (1) na equação (2):
Então, temos:
Vamos analisar cada caso:
-
Caso
: Substituindo na equação (1):Assim,ou , o que nos dá os pontos e . -
Caso
: Substituindo na equação (1):Assim,ou . Para , , então o ponto é .
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que estamos analisando.
- A curva
é uma parábola que abre para a direita. - A curva
é uma parábola que abre para cima.
Os pontos
e
estão alinhados verticalmente no eixo
, mas apenas a parte de
está acima do eixo
. Como queremos a área entre as curvas, vamos focar na região onde elas se cruzam de
a
.
Passo 4
Para calcular a área entre as curvas, precisamos saber qual delas está por cima no intervalo de integração. Vamos resolver as equações para
:
-
Da equação
: -
Da equação
:
Vamos considerar apenas a parte superior das curvas (onde
) para simplificar:
Para
entre 0 e 2:
Vamos comparar os valores em um ponto, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Agora, podemos configurar a integral para calcular a área entre as curvas:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Integral de
:
- Integral de
:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração na antiderivada:
Calculando para
:
Calculando para
:
Ambos os termos se anulam, pois qualquer coisa multiplicada por zero é zero.
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
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Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
Calcule
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
(Volume da esfera de raio
) Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçāo, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
.