Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir: e

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região que está entre as curvas e . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde essas curvas se cruzam e depois calcular a área entre esses pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Vamos substituir a equação (1) na equação (2):
Então, temos:
Vamos analisar cada caso:
  1. Caso :
    Substituindo na equação (1):
    Assim, ou , o que nos dá os pontos e .
  2. Caso :
    Substituindo na equação (1):
    Assim, ou . Para , , então o ponto é .
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que estamos analisando.
  • A curva é uma parábola que abre para a direita.
  • A curva é uma parábola que abre para cima.
Os pontos e estão alinhados verticalmente no eixo , mas apenas a parte de está acima do eixo . Como queremos a área entre as curvas, vamos focar na região onde elas se cruzam de a .

Passo 4

Para calcular a área entre as curvas, precisamos saber qual delas está por cima no intervalo de integração. Vamos resolver as equações para :
  • Da equação :
  • Da equação :
Vamos considerar apenas a parte superior das curvas (onde ) para simplificar:
Para entre 0 e 2:
Vamos comparar os valores em um ponto, por exemplo, :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Agora, podemos configurar a integral para calcular a área entre as curvas:
Á
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de :
  1. Integral de :

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração na antiderivada:
Á
Calculando para :
Calculando para :
Ambos os termos se anulam, pois qualquer coisa multiplicada por zero é zero.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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, onde .
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