Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A gente tem a função:
Onde
Então, vamos usar a regra da derivada para quociente e algumas outras regras básicas de derivação para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da derivada para quociente. Se temos uma função como , a derivada é dada por:
No nosso caso, e . Vamos precisar derivar tanto quanto .

Passo 3

Vamos calcular , que é a derivada de .
  • A derivada de em relação a é 1.
  • Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , então .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a derivada de .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então,

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar a regra do quociente para encontrar .
Substituindo na fórmula:
Vamos substituir cada parte:

Passo 6

Vamos agora multiplicar os termos:
Primeiro:
Segundo:

Passo 7

Subtraindo de :
Simplificando os termos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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, onde .
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir: e