Calcule

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A função que nos deram é:
Aqui, estamos lidando com derivadas, especificamente aplicando regras de diferenciação de funções compostas e produtos. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada termo na função :
  1. – uma função polinomial simples.
  2. – um produto de e .
  3. – uma constante.
Para derivar em relação a , vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Derivando o primeiro termo :
A derivada de é . Então,

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo :
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz:
Vamos encontrar e :
  • então
Para , precisamos usar a regra da cadeia. A derivada de é . Então,
Agora, derivamos . Se é uma função de , digamos , então:
Sem informação adicional sobre , vamos supor que é constante em relação a , então . Portanto:
Então,

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 6

Derivando o terceiro termo, que é uma constante:

Passo 7

Agora, juntando todas as derivadas parciais:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Calcule
Usando a definição de limite prove:
Calcule
Calcule
, onde .