Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Aqui a gente vai trabalhar com cálculo de integrais para determinar essa área. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram e, a partir daí, calcular a integral que representa a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação acima para
:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, precisamos identificar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo. Observando as equações:
-
é uma parábola que abre para baixo. -
é uma reta horizontal.
Para qualquer valor de
entre -2 e 2,
será sempre maior que -3. Então, a parábola está acima da reta nesse intervalo.
Passo 5
Com isso, podemos configurar a integral para calcular a área entre as curvas. A fórmula para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
e
, e os limites de integração são
e
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
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Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
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