Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Aqui a gente vai trabalhar com cálculo de integrais para determinar essa área. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram e, a partir daí, calcular a integral que representa a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação acima para :
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 4

Agora, precisamos identificar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo. Observando as equações:
  • é uma parábola que abre para baixo.
  • é uma reta horizontal.
Para qualquer valor de entre -2 e 2, será sempre maior que -3. Então, a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, podemos configurar a integral para calcular a área entre as curvas. A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, e , e os limites de integração são e . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule
, onde .
Calcule
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir: e
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir: e