Usando a definição de limite prove: lim x 2^- 1x-2=-infty

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que o limite de 1x-2 quando x se aproxima de 2 pela esquerda (ou seja, valores menores que 2) é igual a -infty. Vamos usar a definição de limite para limites infinitos e algumas propriedades de funções racionais para resolver isso.

Passo 2

A definição de limite quando x se aproxima de um valor pela esquerda diz que, para todo número grande negativo M, existe um valor próximo de 2, tal que para todo x menor que esse valor, 1x-2 < M. Isso significa que, conforme x se aproxima de 2 pela esquerda, 1x-2 fica cada vez menor, indo para mais e mais negativo.

Passo 3

Vamos analisar a expressão 1x-2. Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, x é menor que 2, então x - 2 é negativo e está se aproximando de 0. Isso faz com que o denominador da fração fique cada vez menor em valor absoluto, mas negativo.

Passo 4

Como o denominador x-2 está próximo de 0 e negativo, a fração 1x-2 se torna um número negativo muito grande. Por exemplo, se x = 1.9, então 11.9-2 = 1-0.1 = -10. Se x = 1.99, então 11.99-2 = 1-0.01 = -100. Vemos que à medida que x se aproxima mais de 2 pela esquerda, 1x-2 tende a -infty.

Resposta

Portanto, lim x 2^- 1x-2=-infty.

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