Usando a definição de limite prove:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda (ou seja, valores menores que 2) é igual a . Vamos usar a definição de limite para limites infinitos e algumas propriedades de funções racionais para resolver isso.

Passo 2

A definição de limite quando se aproxima de um valor pela esquerda diz que, para todo número grande negativo , existe um valor próximo de 2, tal que para todo menor que esse valor, . Isso significa que, conforme se aproxima de 2 pela esquerda, fica cada vez menor, indo para mais e mais negativo.

Passo 3

Vamos analisar a expressão . Quando se aproxima de 2 pela esquerda, é menor que 2, então é negativo e está se aproximando de 0. Isso faz com que o denominador da fração fique cada vez menor em valor absoluto, mas negativo.

Passo 4

Como o denominador está próximo de 0 e negativo, a fração se torna um número negativo muito grande. Por exemplo, se , então . Se , então . Vemos que à medida que se aproxima mais de 2 pela esquerda, tende a .

Resposta

Portanto, .

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