Calcule
, onde:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de calcular a derivada de
em relação a
. A gente tem a função
, onde as variáveis
e
são funções de
:
,
e
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a encontrar a derivada de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar
, precisamos derivar
em relação a cada variável (
) e depois multiplicar pela derivada dessas variáveis em relação a
. A fórmula geral fica assim:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais de
:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 5
Vamos substituir tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na expressão:
Passo 7
Vamos simplificar cada parte:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 8
Juntando tudo, temos:
Passo 9
Podemos fatorar alguns termos para simplificar ainda mais:
Passo 10
Finalmente, a derivada de
em relação a
é:
Resposta
A derivada de
em relação a
é