Calcule d v / d t, onde:
c) v(x, y, z) = x^2 * y - 2 * x * z + y * z^3, com x = cos(t), y = sen(t), z=t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de calcular a derivada de em relação a . A gente tem a função , onde as variáveis e são funções de : , e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a encontrar a derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar , precisamos derivar em relação a cada variável ( ) e depois multiplicar pela derivada dessas variáveis em relação a . A fórmula geral fica assim:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 5

Vamos substituir tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Agora, substituímos , e na expressão:

Passo 7

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 8

Juntando tudo, temos:

Passo 9

Podemos fatorar alguns termos para simplificar ainda mais:

Passo 10

Finalmente, a derivada de em relação a é:

Resposta

A derivada de em relação a é

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