Seja
. Sabendo que
é função implícita de
, calcule
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona as variáveis
e
:
O objetivo é descobrir como
muda em relação a
, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que serve quando
e
estão ligados numa equação e não está fácil isolar uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação onde
está misturado com
, a gente não pode simplesmente derivar
ou
isoladamente. Em vez disso, derivamos toda a equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação em relação a
:
Agora, vamos derivar termo a termo:
-
Derivada de
: Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada deé vezes a derivada de , onde . -
Derivada de
: Usamos a regra da potência: a derivada deé vezes . -
Derivada de
: Aqui aplicamos a regra do produto: derivada deé , onde e . -
Derivada de
: A derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Agora, juntando tudo:
Vamos simplificar:
Agora, queremos isolar
. Então, movemos
para o outro lado:
Passo 5
Por fim, resolvemos para
:
Resposta
A derivada
é:
Portanto, a alternativa correta é a opção (b).
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e cujo coeficiente angular é -2 .
Calcule as derivadas das funções abaixo:
c)
c)
Calcule
, onde:
c)
c)
O polinômio de Taylor de grau 3 em torno de zero da função
é expresso por:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)