Seja . Sabendo que é função implícita de , calcule .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
©
(d)
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona as variáveis e :
O objetivo é descobrir como muda em relação a , ou seja, encontrar . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que serve quando e estão ligados numa equação e não está fácil isolar uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação onde está misturado com , a gente não pode simplesmente derivar ou isoladamente. Em vez disso, derivamos toda a equação em relação a , lembrando que é uma função de .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
Agora, vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de :
    Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de é vezes a derivada de , onde .
  2. Derivada de :
    Usamos a regra da potência: a derivada de é vezes .
  3. Derivada de :
    Aqui aplicamos a regra do produto: derivada de é , onde e .
  4. Derivada de :
    A derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, juntando tudo:
Vamos simplificar:
Agora, queremos isolar . Então, movemos para o outro lado:

Passo 5

Por fim, resolvemos para :

Resposta

A derivada é:
Portanto, a alternativa correta é a opção (b).

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Determine a equação da reta que passa pelo ponto e cujo coeficiente angular é -2 .
Calcule as derivadas das funções abaixo:
c)
Calcule , onde:
c)
O polinômio de Taylor de grau 3 em torno de zero da função é expresso por:
(a)
(b)
©
(d)
(e)