Seja e^(2 x) + x^(6) - x y^(2) + 2 = 0. Sabendo que x é função implícita de y, calcule dx/dy.
(a) -2xy / (2e^(2x) + 6x^5 - y^2)
(b) 2xy / (2e^(2x) + 6x^5 - y^2)
© 5 x + 3 y + 6 z
(d) 6 x + 3 y + 5 z
(e) 3 x + 6 y + 5 z
© (2xy + 2) / (2e^(2x) + 6x^5 - y^2)
(d) 2 x / (2 e^(2 x) + 6 x^(5) - y^(2))
(e) (2e^(2x) + 6x^(5) - y^(2)) / (2xy)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona as variáveis e :
O objetivo é descobrir como muda em relação a , ou seja, encontrar . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que serve quando e estão ligados numa equação e não está fácil isolar uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação onde está misturado com , a gente não pode simplesmente derivar ou isoladamente. Em vez disso, derivamos toda a equação em relação a , lembrando que é uma função de .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
Agora, vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de :
    Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de é vezes a derivada de , onde .
  2. Derivada de :
    Usamos a regra da potência: a derivada de é vezes .
  3. Derivada de :
    Aqui aplicamos a regra do produto: derivada de é , onde e .
  4. Derivada de :
    A derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, juntando tudo:
Vamos simplificar:
Agora, queremos isolar . Então, movemos para o outro lado:

Passo 5

Por fim, resolvemos para :

Resposta

A derivada é:
Portanto, a alternativa correta é a opção (b).

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