O polinômio de Taylor de grau 3 em torno de zero da função f(x) = (1 + x)^(3/2) é expresso por:
(a) 1 + 3/2 x + 3/8 x^2 - 1/16 x^3
(b) 1 + 3/2 x + 3/8 x^2 + 1/16 x^3
© 1 - 3/2 x - 3/8 x^2 - 1/16 x^3
(d) 3/2 x - 3/8 x^2 - 1/16 x^3
(e) 1 - 2 x - 8 x^2 - 16 x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função em torno de zero. Isso significa que vamos expandir a função em uma série de potências até o termo . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar cada uma delas em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função em :
Então, o primeiro termo do polinômio de Taylor é 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de :
Avalie em :
Esse valor multiplica o no polinômio de Taylor.

Passo 4

Seguimos para a segunda derivada:
Avalie em :
Esse valor é dividido por 2 e multiplica o no polinômio.

Passo 5

Vamos para a terceira derivada:
Avalie em :
Esse valor é dividido por 6 e multiplica o no polinômio.

Passo 6

Agora, juntamos tudo para formar o polinômio de Taylor de grau 3:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A alternativa correta é a (a):

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