Calcule d v / d t, onde:
a) v(x, y) = x^2 + y^3 com x = t, y = t^2

Passo 1

Vamos calcular , onde , com e . Para resolver isso, vamos usar a derivada total, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de em relação a quando depende de outras variáveis que também dependem de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso significa derivar considerando uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.

Passo 3

Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 4

Usando a regra da cadeia para derivadas, a derivada total de em relação a é:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos substituir e na expressão acima:

Resposta

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(b) f'(x) = (-2x^2 - 6x + 2) / (x^2 + 1)^2
© f'(x) = (-12 x + 6) / (x + 1)²
(d) f'(x) = (12 x - 6) / (x + 1)^2
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