A equação diferencial ( e^(-2 x) + y^3 d x - e^(-2 x) d y = 0 é uma equação de Bernoulli? Marque verdadeiro ou falso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é essa aqui:
O que a questão quer saber é se essa equação é uma Equação de Bernoulli. Pra descobrir isso, precisamos lembrar o que caracteriza uma Equação de Bernoulli e ver se a nossa equação se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Equação de Bernoulli. Ela tem a seguinte forma geral:
Aqui, representa a derivada de em relação a , e são funções de , e é um número real.
Então, pra nossa equação ser uma Equação de Bernoulli, ela precisa poder ser escrita nessa forma.

Passo 3

Vamos reescrever a equação dada de uma forma mais familiar. Primeiro, vamos dividir tudo por para deixar em termos de :
Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos comparar essa forma com a forma geral da Equação de Bernoulli:
Na nossa equação:
  • (porque não temos um termo linear em )

Passo 5

Observando os valores, vemos que conseguimos escrever a equação na forma de Bernoulli, já que temos um termo multiplicado por uma função de e os outros termos se encaixam na estrutura.

Resposta

Verdadeiro. A equação diferencial apresentada é uma Equação de Bernoulli.

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