Determine o polinômio de Taylor de f de ordem n em torno de x_0 nos seguintes casos:
b) f(x) = e^(x), x0 = 0, n = 5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 5 para a função em torno de . Para isso, vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor e calcular as derivadas de até a quinta ordem.

Passo 2

A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem para uma função em torno de é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de até a quinta ordem.
Sabemos que:
Ou seja, todas as derivadas de são iguais a .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do polinômio de Taylor:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 5 para em torno de é:

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