Determine o volume do sólido: localizado no primeiro octante e limitado pelos planos coordenados, pelo plano
e pela superfície
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos) e que é limitado pelos planos coordenados, pelo plano
e pela superfície
. Para isso, vamos usar integração múltipla, que é uma ferramenta matemática para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante e limitado pelo plano
, sabemos que
varia de 0 a 3. Para o
, precisamos ver até onde ele pode ir para que
seja positivo, ou seja,
. Resolvendo isso, temos
, então
varia de 0 a 2. Finalmente, para
, ele vai de 0 até a superfície
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. A ordem de integração que vamos usar é
,
,
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 5
Substituindo esse resultado na integral, ficamos com:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 7
Substituindo de novo na integral, temos:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é 16 unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Calcule
, onde:
a) com
a)
Determine o polinômio de Taylor de
de ordem
em torno de
nos seguintes casos:
b)
b)