Determine o volume do sólido: localizado no primeiro octante e limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pela superfície z = 4 - y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos) e que é limitado pelos planos coordenados, pelo plano e pela superfície . Para isso, vamos usar integração múltipla, que é uma ferramenta matemática para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante e limitado pelo plano , sabemos que varia de 0 a 3. Para o , precisamos ver até onde ele pode ir para que seja positivo, ou seja, . Resolvendo isso, temos , então varia de 0 a 2. Finalmente, para , ele vai de 0 até a superfície .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. A ordem de integração que vamos usar é , , . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :

Passo 5

Substituindo esse resultado na integral, ficamos com:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 7

Substituindo de novo na integral, temos:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é 16 unidades cúbicas.

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