Calcule por derivação implícita nas seguintes equações.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos a equação e precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, , usando derivação implícita. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia e a derivação de funções trigonométricas.

Passo 2

A derivação implícita é usada quando e estão relacionados por uma equação e não está fácil isolar uma variável em termos da outra. Nesse caso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Começamos diferenciando o lado esquerdo da equação com relação a . Como temos um produto de duas funções ( e ), usamos a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos derivar cada parte:
  1. : Como é uma função de , aplicamos a regra da cadeia:
  1. :
Substituindo essas derivadas na expressão anterior:

Passo 5

Simplificando a equação:
Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções e determinem, caso existam, os pontos onde as derivadas se anulam.
Calcule as derivadas das seguintes funções.
Calcule por derivação implícita nas seguintes equações.
Calcule as derivadas das seguintes funções.