Calcule as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Isso está na área de cálculo, especificamente em derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é fundamental quando temos funções compostas, além de conhecer as derivadas das funções logarítmica, tangente e arco-secante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função arco-secante,
, em relação a
é:
Mas como nossa função
é
, vamos precisar aplicar a regra da cadeia. Isso significa que vamos multiplicar a derivada da função externa pela derivada da função interna.
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes:
- Função externa:
, onde - Função interna:
Primeiro, calculamos a derivada da função externa em relação a
:
Como
, substituímos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da função interna
em relação a
:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna:
Resposta
A derivada da função é:
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por derivação implícita nas seguintes equações.