Calcule as derivadas das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função . Isso está na área de cálculo, especificamente em derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é fundamental quando temos funções compostas, além de conhecer as derivadas das funções logarítmica, tangente e arco-secante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função arco-secante, , em relação a é:
Mas como nossa função é , vamos precisar aplicar a regra da cadeia. Isso significa que vamos multiplicar a derivada da função externa pela derivada da função interna.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
Primeiro, calculamos a derivada da função externa em relação a :
Como , substituímos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função interna em relação a :
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna:

Resposta

A derivada da função é:

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