Calcule d/y d/x onde e^(-x^2 - y^2) + 2y - 4 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação para encontrar . O enunciado nos dá a equação . A matéria que vamos usar aqui é Derivação Implícita, que é útil quando temos y definido de forma indireta em termos de x. Para resolver, vamos precisar aplicar a derivada em ambos os lados da equação e isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivarmos termos que contêm y, usaremos a regra da cadeia.
Derivando :
Derivando :
Derivando :

Passo 3

Agora, juntamos todas as derivadas na equação original:
Vamos distribuir o :

Passo 4

Nosso objetivo é isolar . Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais do outro:
Fatorando :

Passo 5

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
Podemos simplificar um pouco a expressão dividindo o numerador e o denominador por 2:

Resposta

A derivada é igual a .

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