Calcule d/y d/x. x^2 + x * y^2 - y^3 = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a derivada de y em relação a x, ou seja, , para a equação . Aqui, estamos lidando com derivadas implícitas, que são usadas quando temos uma equação onde y está misturado com x e não está fácil de isolar y.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que, ao diferenciar uma função de y, você precisa multiplicar pela devido à regra da cadeia.
A equação é:
Vamos diferenciar termo a termo:
  1. Diferenciar x^2:
    A derivada de x^2 em relação a x é .
  2. Diferenciar x y^2:
    Aqui temos um produto de x e y^2. Usamos a regra do produto: . Então:
    • e
    • e
    Portanto, a derivada é:
  3. Diferenciar :
    Aplicamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a x é , então a derivada de é .
  4. Diferenciar :
    A derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:

Passo 4

Nosso objetivo é isolar . Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Agora, para resolver para , dividimos ambos os lados da equação pelos termos que estão multiplicando :

Resposta

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