Esboce o gráfico da função
f(x)=x^5-5x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboço de gráfico da função . Aqui, a gente vai trabalhar com funções polinomiais, especificamente com aquelas que têm potências ímpares. Para fazer o esboço, vamos precisar analisar pontos importantes como raízes, derivadas para encontrar máximos e mínimos, e o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar :
Então, as raízes são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função para determinar onde ela tem máximos e mínimos. A derivada de é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e ao menos infinito. Como o termo de maior grau é e o expoente é ímpar, sabemos que:
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta nas extremidades.

Passo 5

Vamos resumir as informações principais para esboçar o gráfico:
  • Raízes em
  • Pontos críticos em e
  • Comportamento conforme tende ao infinito
  • A função passa por e tem simetria ímpar (isto é, )

Resposta

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função . O gráfico cruzará o eixo em , terá um máximo local em e um mínimo local em . Conforme vai para , tende para , e conforme vai para , tende para . O gráfico terá uma forma semelhante a uma “S” estendida, refletindo a simetria ímpar da função.

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