Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de esboço de gráfico da função
. Aqui, a gente vai trabalhar com funções polinomiais, especificamente com aquelas que têm potências ímpares. Para fazer o esboço, vamos precisar analisar pontos importantes como raízes, derivadas para encontrar máximos e mínimos, e o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar
:
Então, as raízes são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função para determinar onde ela tem máximos e mínimos. A derivada de
é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito e ao menos infinito. Como o termo de maior grau é
e o expoente é ímpar, sabemos que:
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta nas extremidades.
Passo 5
Vamos resumir as informações principais para esboçar o gráfico:
- Raízes em
- Pontos críticos em
e - Comportamento conforme
tende ao infinito - A função passa por
e tem simetria ímpar (isto é, )
Resposta
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
. O gráfico cruzará o eixo
em
, terá um máximo local em
e um mínimo local em
. Conforme
vai para
,
tende para
, e conforme
vai para
,
tende para
. O gráfico terá uma forma semelhante a uma “S” estendida, refletindo a simetria ímpar da função.