integrale^-3^1 ln ^2 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve o logaritmo natural ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vamos usar na integração por partes. Essa técnica segue a fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, devemos escolher u = ln^2 x e dv = dx e de forma inteligente. No nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddx (ln^2 x) , dx = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx e v = integral dv = integral dx = x :

Passo 4

Substituindo integral ln^2 x , dx = x ln^2 x - integral x cdot 2 ln xx , dx , = x ln^2 x - 2 integral ln x , dx , e na fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Agora, precisamos resolver u = ln x e dv = dx . Vamos usar outra vez a integração por partes para isso. Desta vez, deixamos:
du = 1x , dx
Calculando v = x e integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x , dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x :
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
integral ln^2 x , dx = x ln^2 x - 2 (x ln x - x) = x ln^2 x - 2x ln x + 2x
Agora, vamos aplicar os limites de integração de [ x ln^2 x - 2x ln x + 2x ]e^-3^1 a :

Passo 7

Vamos calcular cada termo nos limites de integração.
Para ln 1 = 0 :
1 cdot 0^2 - 2 cdot 1 cdot 0 + 2 cdot 1 = 0 - 0 + 2 = 2
Então:
ln e^-3 = -3
Para e^-3 cdot (-3)^2 - 2 cdot e^-3 cdot (-3) + 2 cdot e^-3 = 9 e^-3 + 6 e^-3 + 2 e^-3 = 17 e^-3 :
Então:

Resposta

Subtraindo os valores:
2 - 17 e^-3
Então, o valor da integral é:
2 - 17 e^-3

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