.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve o logaritmo natural ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vamos usar na integração por partes. Essa técnica segue a fórmula:
Aqui, devemos escolher
e
de forma inteligente. No nosso caso, vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Agora, precisamos resolver
. Vamos usar outra vez a integração por partes para isso. Desta vez, deixamos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à nossa expressão anterior:
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Passo 7
Vamos calcular cada termo nos limites de integração.
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Resposta
Subtraindo os valores:
Então, o valor da integral é:
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Calcule as derivadas.
Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
c)
c)
Calcule
.
Esboce o gráfico da função