.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve o logaritmo natural ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vamos usar na integração por partes. Essa técnica segue a fórmula:
Aqui, devemos escolher e de forma inteligente. No nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular e :

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Agora, precisamos resolver . Vamos usar outra vez a integração por partes para isso. Desta vez, deixamos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
Agora, vamos aplicar os limites de integração de a :

Passo 7

Vamos calcular cada termo nos limites de integração.
Para :
Então:
Para :
Então:

Resposta

Subtraindo os valores:
Então, o valor da integral é:

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Calcule as derivadas.
Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
c)
Calcule .
Esboce o gráfico da função