Calcule para a equação implícita .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que relaciona e : . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente a diferenciação implícita. Para resolver, precisaremos aplicar a regra da cadeia e derivar ambos os lados da equação em relação a para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação: . Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de , onde é uma função de , é . Aqui, , então vamos derivar em relação a .

Passo 3

Derivando em relação a , temos que usar a regra do produto, já que tanto quanto dependem de . A derivada de é .

Passo 4

Agora, a derivada do lado esquerdo é:

Passo 5

Derivando o lado direito da equação em relação a , obtemos:

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 7

Vamos resolver para . Primeiro, distribua :

Passo 8

Agora, vamos isolar os termos que contêm :

Passo 9

Fatorando do lado esquerdo:

Passo 10

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Seja , de classe e um domínio simplesmente conexo. Prova-se que se então existe uma função diferenciável escalar talque . A partir deste resultado mostre que o campo vetorial
é oriundo de uma família de funções escalares e determine esta família de funções.
Dado que , use a aproximação linear para estimar e compare com o valor exato da calculadora.
Exercício 1.2.1 Considere os conjuntos . Faça cada uma das operações desejadas: , , , .
Calcule para a função .