Calcule
para a equação implícita
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que relaciona
e
:
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente a diferenciação implícita. Para resolver, precisaremos aplicar a regra da cadeia e derivar ambos os lados da equação em relação a
para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação:
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de
, onde
é uma função de
, é
. Aqui,
, então vamos derivar
em relação a
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos que usar a regra do produto, já que tanto
quanto
dependem de
. A derivada de
é
.
Passo 4
Agora, a derivada do lado esquerdo é:
Passo 5
Derivando o lado direito da equação
em relação a
, obtemos:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 7
Vamos resolver para
. Primeiro, distribua
:
Passo 8
Agora, vamos isolar os termos que contêm
:
Passo 9
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 10
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: