Seja , de classe e um domínio simplesmente conexo. Prova-se que se então existe uma função diferenciável escalar talque . A partir deste resultado mostre que o campo vetorial
é oriundo de uma família de funções escalares e determine esta família de funções.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um campo vetorial que é de classe e é um domínio simplesmente conexo. Foi mostrado que se o rotacional de for zero ( ), então existe uma função escalar diferenciável tal que o gradiente de é igual a , ou seja, .
A questão quer que a gente use esse resultado para mostrar que o campo vetorial vem de uma família de funções escalares e que a gente determine essa família. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradiente e integrais de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o rotacional de é realmente zero. O rotacional de um vetor é dado por:
No nosso caso, , então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:
Confirmamos que o rotacional de é zero.

Passo 3

Como e é simplesmente conexo, podemos aplicar o teorema que diz que existe uma função escalar tal que .
O gradiente de é dado por:
Queremos encontrar tal que:

Passo 4

Vamos integrar cada uma dessas equações parciais para encontrar .
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e porque a constante de integração pode ser uma função dessas variáveis.
Em seguida, usamos :
Integrando em relação a :
Agora, substituímos de volta em :
Finalmente, usamos :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Resposta

Portanto, a família de funções escalares cuja derivada é o campo vetorial é dada por:
Onde é uma constante real qualquer.

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