Calcule d/y d/x, sabendo-se que: arctg(x+y) = x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de em relação a , ou seja, , sabendo que . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, já que está em ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função arco-tangente, cuja derivada em relação a é . Como temos , usaremos a regra da cadeia para derivar o lado esquerdo da equação.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Distribuímos o lado direito:

Passo 7

Reunimos os termos que contêm do lado esquerdo e os demais do lado direito:

Passo 8

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada é:

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