Calcule
, sabendo-se que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, sabendo que
. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, já que
está em ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função arco-tangente, cuja derivada em relação a
é
. Como temos
, usaremos a regra da cadeia para derivar o lado esquerdo da equação.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos isolar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Distribuímos o lado direito:
Passo 7
Reunimos os termos que contêm
do lado esquerdo e os demais do lado direito:
Passo 8
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
é: