Esboce a região delimitada pelas curvas e encontre sua área:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas curvas definidas pelas equações
e
. O objetivo aqui é desenhar a região que essas curvas delimitam e calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção das curvas e usar integrais para calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando as duas equações de
são iguais. Então, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Com os valores de
encontrados, vamos substituir de volta em uma das equações para encontrar os correspondentes valores de
. Vamos usar
:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, vamos desenhar as curvas para visualizar a região delimitada. Ao plotar
e
, percebemos que a segunda curva está à direita da primeira entre
e
.
Passo 6
Para calcular a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Aqui,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Calculando a integral:
Avaliado de 0 a 3:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.