Esboce a região delimitada pelas curvas e encontre sua área:
10 x = y^2 - 4 y, x = 2 y - y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas curvas definidas pelas equações e . O objetivo aqui é desenhar a região que essas curvas delimitam e calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção das curvas e usar integrais para calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando as duas equações de são iguais. Então, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Fatorando:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Com os valores de encontrados, vamos substituir de volta em uma das equações para encontrar os correspondentes valores de . Vamos usar :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, vamos desenhar as curvas para visualizar a região delimitada. Ao plotar e , percebemos que a segunda curva está à direita da primeira entre e .

Passo 6

Para calcular a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Á
Aqui, e , e os limites de integração são de a .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
Á

Passo 8

Calculando a integral:
Avaliado de 0 a 3:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados