Encontre a área abaixo da curva
no intervalo
. Com erro de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a área sob a curva da função
no intervalo de
até
. Isso faz parte do estudo de integrais definidas, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas. Para resolver, vamos usar um método de integração numérica, já que essa função não tem uma antiderivada simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos calcular a integral definida de
de
a
, ou seja:
Como essa integral não pode ser resolvida facilmente com as técnicas de integração que aprendemos, vamos utilizar o Método dos Trapézios, que é uma forma de aproximação para calcular áreas.
Passo 3
No Método dos Trapézios, dividimos o intervalo de integração em pequenos subintervalos e aproximamos a área sob a curva como uma série de trapézios. A fórmula geral é:
Onde:
-
é a largura de cada subintervalo, -
e são os limites de integração, -
é o número de subintervalos.
Passo 4
Vamos determinar quanto de
precisamos para que o erro seja menor que
. A regra de erro do Método dos Trapézios para funções com segunda derivada contínua é:
Precisamos que
. Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
O máximo de
no intervalo [0,2] é
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula do erro:
Como
deve ser inteiro, vamos escolher
.
Passo 6
Agora, com
, calculamos
:
Os pontos
são:
Passo 7
Vamos calcular
para cada
:
Passo 8
Aplicando a fórmula do Método dos Trapézios:
Calculando a soma interna:
Então:
Resposta
A área sob a curva
no intervalo de
a
é aproximadamente 0,766 com um erro menor que
.