Encontre a área abaixo da curva f(x) = e^(-x^2) no intervalo 0 <= x <= 2. Com erro de 10^(-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a área sob a curva da função no intervalo de até . Isso faz parte do estudo de integrais definidas, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas. Para resolver, vamos usar um método de integração numérica, já que essa função não tem uma antiderivada simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos calcular a integral definida de de a , ou seja:
Como essa integral não pode ser resolvida facilmente com as técnicas de integração que aprendemos, vamos utilizar o Método dos Trapézios, que é uma forma de aproximação para calcular áreas.

Passo 3

No Método dos Trapézios, dividimos o intervalo de integração em pequenos subintervalos e aproximamos a área sob a curva como uma série de trapézios. A fórmula geral é:
Á
Onde:
  • é a largura de cada subintervalo,
  • e são os limites de integração,
  • é o número de subintervalos.

Passo 4

Vamos determinar quanto de precisamos para que o erro seja menor que . A regra de erro do Método dos Trapézios para funções com segunda derivada contínua é:
Precisamos que . Primeiro, encontramos a segunda derivada de :
O máximo de no intervalo [0,2] é .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do erro:
Como deve ser inteiro, vamos escolher .

Passo 6

Agora, com , calculamos :
Os pontos são:

Passo 7

Vamos calcular para cada :

Passo 8

Aplicando a fórmula do Método dos Trapézios:
Á
Calculando a soma interna:
Então:
Á

Resposta

A área sob a curva no intervalo de a é aproximadamente 0,766 com um erro menor que .

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