Seja
, onde
e
é uma função diferenciável em
e
tal que
Calcule
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
, onde
e
são funções de
e
. Especificamente,
e
é uma função diferenciável. A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
quando
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que conecta as derivadas parciais compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então:
Vamos seguir esses passos para encontrar as derivadas que precisamos.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Essas são as derivadas de
em relação a
e
. Agora, precisamos avaliar essas derivadas nos valores específicos de
e
.
Passo 4
Para avaliar
e
em
e
, primeiro vamos encontrar os valores de
e
nesses pontos.
Sabemos que:
E pela condição dada:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
em relação a
e
.
No ponto
:
Além disso, já temos as derivadas de
em relação a
e
:
Passo 6
Vamos agora usar a regra da cadeia para encontrar
e
.
Para
:
Para
: