Seja f(x, y)=x^3+2 x y, onde x=x(r, s)=s^2-2 r e y=y(r, s) é uma função diferenciável em r e s tal que
y(1,2)=1, partial ypartial r(1,2)=3 e partial ypartial s(1,2)=-4
Calcule partial fpartial r e partial fpartial s quando r=1 e s=2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função , onde e são funções de e . Especificamente, e é uma função diferenciável. A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e quando e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que conecta as derivadas parciais compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se partial fpartial r = partial fpartial x cdot partial xpartial r + partial fpartial y cdot partial ypartial r depende de partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s e , que por sua vez dependem de e , então:
Vamos seguir esses passos para encontrar as derivadas que precisamos.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = 3x^2 + 2y em relação a partial fpartial y = 2x e .
Essas são as derivadas de em relação a e . Agora, precisamos avaliar essas derivadas nos valores específicos de e .

Passo 4

Para avaliar x = s^2 - 2r = 2^2 - 2(1) = 4 - 2 = 2 e y(1, 2) = 1 em partial fpartial x = 3(2)^2 + 2(1) = 12 + 2 = 14 e partial fpartial y = 2(2) = 4 , primeiro vamos encontrar os valores de e nesses pontos.
Sabemos que:
E pela condição dada:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as derivadas de partial xpartial r = partialpartial r(s^2 - 2r) = -2 em relação a partial xpartial s = partialpartial s(s^2 - 2r) = 2s e partial xpartial s = 2(2) = 4 .
partial ypartial r(1,2) = 3
partial ypartial s(1,2) = -4
No ponto :
Além disso, já temos as derivadas de em relação a e :

Passo 6

Vamos agora usar a regra da cadeia para encontrar partial fpartial r = partial fpartial x cdot partial xpartial r + partial fpartial y cdot partial ypartial r = 14 cdot (-2) + 4 cdot 3 = -28 + 12 = -16 e partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s = 14 cdot 4 + 4 cdot (-4) = 56 - 16 = 40 .
Para :
Para :

Resposta

partial fpartial r = -16 e partial fpartial s = 40

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