Determine
e
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
na equação dada:
Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais e diferenciação implícita. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a diferenciação implícita nas duas variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Essa forma nos ajuda a visualizar melhor cada termo ao diferenciarmos em relação a
e
.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar essa equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então quando derivamos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
A derivada em relação a
fica assim:
Passo 4
Vamos calcular cada termo separado:
- Para
:
Aqui usamos a regra da cadeia, derivando a função externa
em relação a
, e depois multiplicando pela derivada interna.
- Para
:
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.
- Para
:
Aqui,
é tratado como constante em relação a
.
Passo 5
Substituindo todos os termos na equação derivada em relação a
:
Agora, vamos isolar
. Vamos reunir todos os termos que contêm
:
Então, isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Observação: Para encontrar
, siga um processo análogo, diferenciando a equação original em relação a
e resolvendo para
.