Determine partial zpartial x e partial zpartial y : raizx+y+z=x ln (z)+z e^-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de raizx + y + z = x ln(z) + z e^-y em relação a e na equação dada:
Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais e diferenciação implícita. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a diferenciação implícita nas duas variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
raizx + y + z - x ln(z) - z e^-y = 0
Essa forma nos ajuda a visualizar melhor cada termo ao diferenciarmos em relação a e .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar essa equação em relação a partialpartial x ( raizx + y + z ) - partialpartial x ( x ln(z) ) - partialpartial x ( z e^-y ) = 0 . Lembre-se que é uma função de e , então quando derivamos termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.
A derivada em relação a fica assim:

Passo 4

Vamos calcular cada termo separado:
  1. Para partialpartial x raizx + y + z = 12raizx + y + z (1 + partial zpartial x) :
partialpartial x (x ln(z)) = ln(z) + x cdot 1z cdot partial zpartial x
Aqui usamos a regra da cadeia, derivando a função externa partialpartial x (z e^-y) = e^-y cdot partial zpartial x em relação a , e depois multiplicando pela derivada interna.
  1. Para :
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.
  1. Para :
Aqui, é tratado como constante em relação a .

Passo 5

Substituindo todos os termos na equação derivada em relação a 12raizx + y + z (1 + partial zpartial x) - ln(z) - xz partial zpartial x - e^-y partial zpartial x = 0 :
( 12raizx + y + z - xz - e^-y ) partial zpartial x = ln(z) - 12raizx + y + z
Agora, vamos isolar partial zpartial x = ln(z) - 12raizx + y + z12raizx + y + z - xz - e^-y . Vamos reunir todos os termos que contêm :
Então, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = ln(z) - 12raizx + y + z12raizx + y + z - xz - e^-y
partial zpartial y = (Similar processo de diferenciação em relação a y) çãçã
Observação: Para encontrar , siga um processo análogo, diferenciando a equação original em relação a e resolvendo para .

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