Calcule
nos seguintes casos:
(21.1)
(21.1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
, para as funções paramétricas dadas:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para funções paramétricas. Precisaremos calcular as derivadas de
e
em relação a
, e depois aplicar a fórmula da segunda derivada para funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Dado que
, a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Dado que
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 4
Com as derivadas de
e
em mãos, podemos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, que é
.
A fórmula para isso é:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos simplificar essa expressão se necessário, mas vamos seguir para o próximo passo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada,
. A fórmula para a segunda derivada em função de
é:
Isso significa que precisamos primeiro derivar
em relação a
e depois dividir pelo
que já calculamos.
Passo 6
Vamos derivar
em relação a
.
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos dividir a derivada que encontramos pelo
:
Isso é o mesmo que multiplicar pelo inverso:
Podemos fatorar
no numerador:
Dependendo do nível de simplificação desejado, podemos parar aqui ou simplificar mais usando identidades trigonométricas.
Resposta
A segunda derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.2) , no ponto de abscissa
(20.2)
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.2)
(19.2)
Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva
, no ponto com
, sendo
, definida parametricamente pelas equações
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: