Calcule nos seguintes casos:
(21.1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, , para as funções paramétricas dadas:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para funções paramétricas. Precisaremos calcular as derivadas de e em relação a , e depois aplicar a fórmula da segunda derivada para funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .
Dado que , a derivada de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .
Dado que , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Portanto:

Passo 4

Com as derivadas de e em mãos, podemos encontrar a primeira derivada de em relação a , que é .
A fórmula para isso é:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos simplificar essa expressão se necessário, mas vamos seguir para o próximo passo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada, . A fórmula para a segunda derivada em função de é:
Isso significa que precisamos primeiro derivar em relação a e depois dividir pelo que já calculamos.

Passo 6

Vamos derivar em relação a .
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos dividir a derivada que encontramos pelo :
Isso é o mesmo que multiplicar pelo inverso:
Podemos fatorar no numerador:
Dependendo do nível de simplificação desejado, podemos parar aqui ou simplificar mais usando identidades trigonométricas.

Resposta

A segunda derivada de em relação a é:

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