Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.2) , no ponto de abscissa
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas das funções paramétricas dadas e encontrar o valor da derivada no ponto onde a abscissa é . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções paramétricas. Precisaremos achar , e então .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as funções paramétricas que nos foram dadas:
Queremos encontrar , que na derivada paramétrica é dada por:
Passo 3
Vamos calcular e .
Primeiro, para :
Usando a regra do quociente ou a regra do produto, temos:
Simplificando:
Agora, para :
Aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos e . Vamos encontrar :
Então, .
Passo 5
Agora precisamos encontrar o valor de que corresponde à abscissa .