Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.2) , no ponto de abscissa

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas das funções paramétricas dadas e encontrar o valor da derivada no ponto onde a abscissa é . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções paramétricas. Precisaremos achar , e então .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções paramétricas que nos foram dadas:
Queremos encontrar , que na derivada paramétrica é dada por:

Passo 3

Vamos calcular e .
Primeiro, para :
Usando a regra do quociente ou a regra do produto, temos:
Simplificando:
Agora, para :
Aplicando a derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos e . Vamos encontrar :
Então, .

Passo 5

Agora precisamos encontrar o valor de que corresponde à abscissa .
Vamos usar a equação de :
Vamos resolver para :
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, ou . Como o intervalo de é , temos .

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos calcular :

Resposta

A derivada no ponto de abscissa é igual a 1.

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