Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.2)
(19.2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar os gráficos das curvas paramétricas dadas e, para facilitar, transformar essas equações paramétricas em uma equação na forma cartesiana, ou seja, sem o parâmetro
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o
das duas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas equações que temos:
Nosso objetivo é expressar
em termos de
sem o
. Para isso, precisamos encontrar uma maneira de relacionar as duas equações.
Passo 3
Vamos começar com a segunda equação:
. Podemos resolver essa equação para
:
Isso nos dá uma expressão para
em função de
, o que pode ser útil depois.
Passo 4
Agora, vamos para a primeira equação:
. Aqui, temos um
e um
, então precisamos encontrar uma maneira de expressar
em termos de
ou
.
Sabemos que
. Como já encontramos que
, podemos substituir:
Passo 5
Vamos voltar à primeira equação com essa substituição:
Podemos fatorar o
:
Simplificando dentro do parênteses:
Então:
Passo 6
Agora, queremos eliminar o
. Da segunda equação, temos
, então podemos escrever
ou
. Vamos usar
para simplificar.
Substituindo na equação de
:
Multiplicando os termos:
Resposta
A equação na forma cartesiana é:
Exercícios relacionados
Compare as curvas representadas pelas equações paramétricas. Em que elas diferem?
(a)
(a)
Descreva o movimento de uma partícula com posição
quando
varia do intervalo dado.
(a)
(a)
Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.2) , no ponto de abscissa
(20.2)
Calcule
nos seguintes casos:
(21.1)
(21.1)