Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.2) {x = -t^3/3 + t, y = t^2 - 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar os gráficos das curvas paramétricas dadas e, para facilitar, transformar essas equações paramétricas em uma equação na forma cartesiana, ou seja, sem o parâmetro t. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o t das duas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações que temos:
Nosso objetivo é expressar x em termos de y sem o t. Para isso, precisamos encontrar uma maneira de relacionar as duas equações.

Passo 3

Vamos começar com a segunda equação: . Podemos resolver essa equação para t^2:
Isso nos dá uma expressão para t^2 em função de y, o que pode ser útil depois.

Passo 4

Agora, vamos para a primeira equação: . Aqui, temos um e um t, então precisamos encontrar uma maneira de expressar em termos de t^2 ou y.
Sabemos que . Como já encontramos que , podemos substituir:

Passo 5

Vamos voltar à primeira equação com essa substituição:
Podemos fatorar o t:
Simplificando dentro do parênteses:
Então:

Passo 6

Agora, queremos eliminar o t. Da segunda equação, temos , então podemos escrever ou . Vamos usar para simplificar.
Substituindo na equação de x:
Multiplicando os termos:

Resposta

A equação na forma cartesiana é:

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