Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. A gente vai trabalhar com limites e funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para isso, vamos precisar entender como o
e o
se comportam quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o
. Sabemos que a função cosseno sempre varia entre -1 e 1, independente do que está dentro dela. Ou seja:
Isso é importante porque vai nos ajudar a limitar o valor de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Conforme
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Na verdade,
fica bem pequeno bem rápido quando
fica perto de 0.
Passo 4
Vamos combinar as duas partes. Já que
está sempre entre -1 e 1, multiplicando por
, temos:
Como
se aproxima de 0 quando
se aproxima de 0, os limites de
e
também se aproximam de 0.
Passo 5
Aqui entra o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperta). Ele diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Sandwich:
Portanto, pelo teorema:
Resposta
O limite é 0.
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva
, no ponto com
, sendo
, definida parametricamente pelas equações
Calcule
nos seguintes casos:
(21.1)
(21.1)
Determine a área limitada:
pelo laço de curva
pelo laço de curva