Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . A gente vai trabalhar com limites e funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para isso, vamos precisar entender como o e o se comportam quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o . Sabemos que a função cosseno sempre varia entre -1 e 1, independente do que está dentro dela. Ou seja:
Isso é importante porque vai nos ajudar a limitar o valor de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Na verdade, fica bem pequeno bem rápido quando fica perto de 0.

Passo 4

Vamos combinar as duas partes. Já que está sempre entre -1 e 1, multiplicando por , temos:
Como se aproxima de 0 quando se aproxima de 0, os limites de e também se aproximam de 0.

Passo 5

Aqui entra o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperta). Ele diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Sandwich:
Portanto, pelo teorema:

Resposta

O limite é 0.

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Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva , no ponto com , sendo , definida parametricamente pelas equações
Calcule nos seguintes casos:
(21.1)
Determine a área limitada:
pelo laço de curva